原题链接

tag: 最小生成树，贪心，*2200

题意

给定一个 个点， 条边的图，同时给定两个正整数 ，每条边有 两个权重，求图的一棵生成树 ，使得 ​ 最小，求出这个最小值。

题解

考虑暴力的做法，由于是双变量最优化问题，考虑枚举某一个变量对另外一个变量进行优化。在本题中可以枚举最大的 值，用所有小于 的边建图，然后在这张图上以最小化 跑 最小生成树。这样做的时间复杂度为 。

考虑如何优化，可以发现以下性质：

  • 如果一个边在上一次枚举 的时候没有被选中，那么在后续的枚举（假设是从小到大枚举 值）中一定不会被选中。

因为前面已经可以选择一些拥有更小 的边来连接使相同的一些点连通，而且可选的边会越来越多，肯定没有必要选当前的边，直接删掉即可，这样可以保证每一轮所剩下的边只有最多 条。时间复杂度降为 ，大约 。

如果要继续优化，由于每次枚举 值时相对于上一轮只会多加入一条边，不用每次都重新排序然后跑 ，只需要在上一次得到的边集中按照插入排序的方式插入这条边，然后再跑 ，并将这一轮得到的边集传递给下一轮。

时间复杂度 。

代码

In queue中……

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define ll long long
#define PII pair<int, int>
#define pi acos(-1.0)
constexpr ll inf = 0x7fffffffffffffffll;

struct edge {
    int u, v;
    ll g, s;
    bool operator==(const edge& a) const { return u == a.u && v == a.v && g == a.g && s == a.s; }
    bool operator<(const edge& a) const { return s < a.s; }
};

struct DSU {
    std::vector<int> p;
    DSU(int n)
    {
        p.resize(n + 1);
        std::iota(p.begin(), p.end(), 0);
    }

    int find(int x)
    {
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }

    bool same(int a, int b) { return find(a) == find(b); }

    void merge(int a, int b) { p[find(a)] = find(b); }
};

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int n, m;
    ll G, S;
    cin >> n >> m;
    cin >> G >> S;
    vector<edge> e;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        ll g, s;
        cin >> u >> v >> g >> s;
        if (u == v) continue;
        e.push_back({u, v, g, s});
    }
    sort(e.begin(), e.end(), [](const edge& a, const edge& b) { return a.g < b.g; });
    vector<edge> cur;
    vector<edge> past;
    ll ans = inf;
    for (int i = 0; i < e.size(); i++) {
        cur.assign(past.begin(), past.end());
        cur.push_back(e[i]);
        for (int j = cur.size() - 1; j >= 1; j--) {
            if (cur[j].s < cur[j - 1].s) swap(cur[j], cur[j - 1]);
        }
        past.clear();
        int cnt = 0;
        DSU T(n);
        ll max_g = 0, max_s = 0;
        for (int j = 0; j < cur.size(); j++) {
            auto [u, v, g, s] = cur[j];
            if (!T.same(u, v)) {
                T.merge(u, v);
                past.push_back(cur[j]);
                max_g = max(max_g, g), max_s = max(max_s, s);
                cnt++;
                if (cnt == n - 1) break;
            }
        }
        if (cnt == n - 1) ans = min(ans, G * max_g + S * max_s);
    }
    ans = ans == inf ? -1 : ans;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}
许可协议

本文采用 署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际 许可协议，转载请注明出处。